notes/mathematika/wielomiany/Wielomiany notatki.md at main

Sebastian Ranoszek 0cba883414 vault backup: 2025-05-20 21:26:09

2025-05-20 21:26:09 +02:00

7.2 KiB

Raw Permalink Blame History

2.1. Stopień i współczynniki wielomianu

Co to jest wielomian?

Wyobraź sobie, że wielomian to torba z zakupami. W środku masz różne produkty: jabłka (x), banany (x²), marchewki (x³), itd. Każdy produkt ma swoją cenę (współczynnik) i ilość (potęga x).

Przykład:
5x³ - 2x² + 7x - 1

5x³ → 5 worków jabłek (x³), każdy kosztuje 5 zł.
-2x² → 2 banany (x²), ale na minusie (ktoś je zabrał).
7x → 7 marchewek (x).
-1 → ktoś ukradł 1 zł z portfela (wyraz wolny).

Stopień wielomianu

To najwyższa potęga w torbie. W 5x³ - 2x² + 7x - 1 najwyższa to x³, więc stopień to 3.

Współczynniki

To liczby przed x:

przy x³ → 5
przy x² → -2
przy x → 7
wyraz wolny → -1

Ćwiczenie: W -x⁴ + 3x - 5 stopień to 4, współczynniki: -1 (przy x⁴), 3 (przy x), -5 (wyraz wolny).

2.2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów

Dodawanie

To jak łączenie dwóch toreb zakupów. Możesz dodać tylko te same produkty (te same potęgi x).

Przykład:
(3x² + 2x + 1) + (x² - 5x + 4)

Łączymy x²: 3x² + x² = 4x²
Łączymy x: 2x - 5x = -3x
Łączymy wolne wyrazy: 1 + 4 = 5
Wynik: 4x² - 3x + 5

Odejmowanie

Najpierw zmieniamy znaki w drugim nawiasie, potem dodajemy.

Przykład:
(3x² + 2x) - (x² - 5x)

Zmieniamy znaki: -x² + 5x
Dodajemy: 3x² - x² + 2x + 5x = 2x² + 7x

2.3. Mnożenie wielomianów

To jak rozdawanie prezentów każdemu po kolei. Każdy element z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy z drugiego.

Przykład:
(x + 2)(x + 3)

x * x = x²
x * 3 = 3x
2 * x = 2x
2 * 3 = 6
Teraz dodajemy wszystko: x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6

Wizualizacja:

(x + 2)(x + 3) = x * (x + 3) + 2 * (x + 3)
= x² + 3x + 2x + 6
= x² + 5x + 6

2.4. Wzory skróconego mnożenia

To gotowe przepisy na szybkie mnożenie.

1. Kwadrat sumy

(a + b)² = a² + 2ab + b²
Przykład:
(x + 1)² = x² + 2*x*1 + 1² = x² + 2x + 1

2. Kwadrat różnicy

(a - b)² = a² - 2ab + b²
Przykład:
(x - 2)² = x² - 4x + 4

3. Różnica kwadratów

(a + b)(a - b) = a² - b²
Przykład:
(x + 3)(x - 3) = x² - 9

Trójkąt Pascala

To piramida liczb, która pokazuje współczynniki przy (a + b)ⁿ.

Copy

Download

1 ← (a + b)⁰ = 1
1 1 ← (a + b)¹ = a + b
1 2 1 ← (a + b)² = a² + 2ab + b²
1 3 3 1 ← (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
1 4 6 4 1 ← (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Jak czytać?

Dla (a + b)³ patrzysz na 4. linię: 1 3 3 1 → a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

2.5-2.6. Rozkład wielomianu na czynniki

To odwrotność mnożenia. Szukamy, z jakich nawiasów mógł powstać wielomian.

Metody rozkładu:

Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias
6x² + 3x = 3x(2x + 1)
Wzory skróconego mnożenia
x² - 9 = (x - 3)(x + 3)
Grupowanie wyrazów
x³ + x² + x + 1 = x²(x + 1) + 1(x + 1) = (x² + 1)(x + 1)
Szukanie pierwiastków (o tym później).

2.7. Równania wielomianowe

To gdy wielomian przyrównujemy do zera i szukamy x.

Przykład:
x² - 5x + 6 = 0

Rozkładamy na czynniki: (x - 2)(x - 3) = 0
Każdy nawias może dać zero:
- x - 2 = 0 → x = 2
- x - 3 = 0 → x = 3
  Rozwiązania: x = 2 lub x = 3.

2.8. Dzielenie wielomianów

Działa jak dzielenie pisemne, ale z x.

Przykład:
(x² + 5x + 6) : (x + 2)

Dzielimy pierwszy wyraz przez pierwszy wyraz dzielnika:
x² : x = x → zapisujemy x na górze.
Mnożymy x * (x + 2) = x² + 2x i odejmujemy od wielomianu:
(x² + 5x + 6) - (x² + 2x) = 3x + 6
Powtarzamy: 3x : x = 3 → 3 dopisujemy na górze.
Mnożymy 3 * (x + 2) = 3x + 6 i odejmujemy:
(3x + 6) - (3x + 6) = 0 → reszta 0.
Wynik: x + 3.

2.10. Twierdzenie Bézouta

Mówi: Jeśli W(a) = 0, to (x - a) jest dzielnikiem wielomianu W(x).

Przykład:
W(x) = x² - 4
Sprawdzamy W(2) = 2² - 4 = 0 → (x - 2) jest dzielnikiem.
Faktycznie: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).

2.11. Pierwiastki całkowite i wymierne

Pierwiastki całkowite

To całkowite liczby, które podstawione za x dają 0.
Jak szukać? Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego.

Przykład:
x³ - 3x² - 4x + 12 = 0
Dzielniki 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.
Sprawdzamy:

W(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0 → x = 2 jest pierwiastkiem.

Pierwiastki wymierne

To ułamki p/q, gdzie p to dzielnik wyrazu wolnego, a q dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze.

Przykład:
2x² - x - 1 = 0
Możliwe ułamki: ±1, ±1/2.
Sprawdzamy x = 1: 2 - 1 - 1 = 0 → x = 1 jest pierwiastkiem.

2.12. Pierwiastki wielokrotne

To gdy ta sama liczba jest pierwiastkiem kilka razy.

Przykład:
(x - 1)² = 0 → x = 1 jest podwójnym pierwiastkiem.

2.13. Wykres wielomianu

Stopień 1 (np. 2x + 1) → prosta linia.
Stopień 2 (np. x²) → parabola (kształt "U").
Stopień 3 (np. x³) → krzywa w kształcie "S".

Jak rysować?

Znajdź pierwiastki (miejsca zerowe).
Zobacz, czy wielomian idzie w górę czy w dół dla dużych x.

Przykład:
W(x) = x² - 4

Pierwiastki: x = -2 i x = 2.
Dla x → ∞ wielomian rośnie do +∞.

2.14. Nierówności wielomianowe

To gdy zamiast = jest <, >, ≤, ≥.

Jak rozwiązywać?

Rozłóż na czynniki.
Znajdź pierwiastki.
Narysuj oś liczbową i zaznacz przedziały.

Przykład:
x² - 4 > 0

Rozkład: (x - 2)(x + 2) > 0.
Pierwiastki: x = -2, x = 2.
Rysujemy oś:

----(+)----(-2)----(-)----(2)----(+)---->
- Dla x < -2 → (+) * (-) = (-) → nie spełnia.
- Dla -2 < x < 2 → (+) * (+) = (+) → spełnia.
- Dla x > 2 → (-) * (+) = (-) → nie spełnia.
  Rozwiązanie: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞).](<2.14. Nierówności wielomianowe To gdy zamiast = jest %3C, %3E, ≤, ≥.

Jak rozwiązywać?

Rozłóż na czynniki.

Znajdź pierwiastki.

Narysuj oś liczbową i zaznacz przedziały.

Przykład: x² - 4 > 0

Rozkład: (x - 2)(x + 2) > 0.

Pierwiastki: x = -2, x = 2.

Rysujemy oś:

----(+)----(-2)----(-)----(2)----(+)---->
Dla x < -2 → (+) * (-) = (-) → nie spełnia.

Dla -2 < x < 2 → (+) * (+) = (+) → spełnia.

Dla x > 2 → (-) * (+) = (-) → nie spełnia. Rozwiązanie: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞).>)

7.2 KiB Raw Permalink Blame History Unescape Escape