## **2.1. Stopień i współczynniki wielomianu** ### **Co to jest wielomian?** Wyobraź sobie, że wielomian to **torba z zakupami**. W środku masz różne produkty: jabłka (`x`), banany (`x²`), marchewki (`x³`), itd. Każdy produkt ma **swoją cenę** (współczynnik) i **ilość** (potęga `x`). **Przykład:** `5x³ - 2x² + 7x - 1` - `5x³` → 5 worków jabłek (`x³`), każdy kosztuje 5 zł. - `-2x²` → 2 banany (`x²`), ale na minusie (ktoś je zabrał). - `7x` → 7 marchewek (`x`). - `-1` → ktoś ukradł 1 zł z portfela (wyraz wolny). ### **Stopień wielomianu** To **najwyższa potęga** w torbie. W `5x³ - 2x² + 7x - 1` najwyższa to `x³`, więc stopień to **3**. ### **Współczynniki** To liczby przed `x`: - przy `x³` → `5` - przy `x²` → `-2` - przy `x` → `7` - wyraz wolny → `-1` **Ćwiczenie:** W `-x⁴ + 3x - 5` stopień to **4**, współczynniki: `-1` (przy `x⁴`), `3` (przy `x`), `-5` (wyraz wolny). --- ## **2.2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów** ### **Dodawanie** To jak **łączenie dwóch toreb zakupów**. Możesz dodać tylko **te same produkty** (te same potęgi `x`). **Przykład:** `(3x² + 2x + 1) + (x² - 5x + 4)` 1. Łączymy `x²`: `3x² + x² = 4x²` 2. Łączymy `x`: `2x - 5x = -3x` 3. Łączymy wolne wyrazy: `1 + 4 = 5` **Wynik:** `4x² - 3x + 5` ### **Odejmowanie** Najpierw **zmieniamy znaki w drugim nawiasie**, potem dodajemy. **Przykład:** `(3x² + 2x) - (x² - 5x)` 1. Zmieniamy znaki: `-x² + 5x` 2. Dodajemy: `3x² - x² + 2x + 5x = 2x² + 7x` --- ## **2.3. Mnożenie wielomianów** To jak **rozdawanie prezentów każdemu po kolei**. Każdy element z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy z drugiego. **Przykład:** `(x + 2)(x + 3)` 1. `x * x = x²` 2. `x * 3 = 3x` 3. `2 * x = 2x` 4. `2 * 3 = 6` Teraz dodajemy wszystko: `x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6` **Wizualizacja:** (x + 2)(x + 3) = x * (x + 3) + 2 * (x + 3) = x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6 --- ## **2.4. Wzory skróconego mnożenia** To **gotowe przepisy** na szybkie mnożenie. ### **1. Kwadrat sumy** `(a + b)² = a² + 2ab + b²` **Przykład:** `(x + 1)² = x² + 2*x*1 + 1² = x² + 2x + 1` ### **2. Kwadrat różnicy** `(a - b)² = a² - 2ab + b²` **Przykład:** `(x - 2)² = x² - 4x + 4` ### **3. Różnica kwadratów** `(a + b)(a - b) = a² - b²` **Przykład:** `(x + 3)(x - 3) = x² - 9` --- ## **Trójkąt Pascala** To **piramida liczb**, która pokazuje współczynniki przy `(a + b)ⁿ`. Copy Download 1 ← (a + b)⁰ = 1 1 1 ← (a + b)¹ = a + b 1 2 1 ← (a + b)² = a² + 2ab + b² 1 3 3 1 ← (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 1 4 6 4 1 ← (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ **Jak czytać?** - Dla `(a + b)³` patrzysz na 4. linię: `1 3 3 1` → `a³ + 3a²b + 3ab² + b³`. --- ## **2.5-2.6. Rozkład wielomianu na czynniki** To **odwrotność mnożenia**. Szukamy, z jakich nawiasów mógł powstać wielomian. ### **Metody rozkładu:** 1. **Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias** `6x² + 3x = 3x(2x + 1)` 2. **Wzory skróconego mnożenia** `x² - 9 = (x - 3)(x + 3)` 3. **Grupowanie wyrazów** `x³ + x² + x + 1 = x²(x + 1) + 1(x + 1) = (x² + 1)(x + 1)` 4. **Szukanie pierwiastków** (o tym później). --- ## **2.7. Równania wielomianowe** To gdy wielomian **przyrównujemy do zera** i szukamy `x`. **Przykład:** `x² - 5x + 6 = 0` 1. Rozkładamy na czynniki: `(x - 2)(x - 3) = 0` 2. Każdy nawias może dać zero: - `x - 2 = 0` → `x = 2` - `x - 3 = 0` → `x = 3` **Rozwiązania:** `x = 2` lub `x = 3`. --- ## **2.8. Dzielenie wielomianów** Działa jak **dzielenie pisemne**, ale z `x`. **Przykład:** `(x² + 5x + 6) : (x + 2)` 1. Dzielimy **pierwszy wyraz** przez pierwszy wyraz dzielnika: `x² : x = x` → zapisujemy `x` na górze. 2. Mnożymy `x * (x + 2) = x² + 2x` i odejmujemy od wielomianu: `(x² + 5x + 6) - (x² + 2x) = 3x + 6` 3. Powtarzamy: `3x : x = 3` → `3` dopisujemy na górze. 4. Mnożymy `3 * (x + 2) = 3x + 6` i odejmujemy: `(3x + 6) - (3x + 6) = 0` → **reszta 0**. **Wynik:** `x + 3`. --- ## **2.10. Twierdzenie Bézouta** Mówi: **Jeśli `W(a) = 0`, to `(x - a)` jest dzielnikiem wielomianu `W(x)`.** **Przykład:** `W(x) = x² - 4` Sprawdzamy `W(2) = 2² - 4 = 0` → `(x - 2)` jest dzielnikiem. Faktycznie: `x² - 4 = (x - 2)(x + 2)`. --- ## **2.11. Pierwiastki całkowite i wymierne** ### **Pierwiastki całkowite** To **całkowite liczby**, które podstawione za `x` dają `0`. **Jak szukać?** Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. **Przykład:** `x³ - 3x² - 4x + 12 = 0` Dzielniki `12`: `±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12`. Sprawdzamy: - `W(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0` → `x = 2` jest pierwiastkiem. ### **Pierwiastki wymierne** To **ułamki** `p/q`, gdzie `p` to dzielnik wyrazu wolnego, a `q` dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze. **Przykład:** `2x² - x - 1 = 0` Możliwe ułamki: `±1, ±1/2`. Sprawdzamy `x = 1`: `2 - 1 - 1 = 0` → `x = 1` jest pierwiastkiem. --- ## **2.12. Pierwiastki wielokrotne** To gdy **ta sama liczba** jest pierwiastkiem **kilka razy**. **Przykład:** `(x - 1)² = 0` → `x = 1` jest **podwójnym** pierwiastkiem. --- ## **2.13. Wykres wielomianu** - **Stopień 1 (np. `2x + 1`)** → prosta linia. - **Stopień 2 (np. `x²`)** → parabola (kształt "U"). - **Stopień 3 (np. `x³`)** → krzywa w kształcie "S". **Jak rysować?** 1. Znajdź **pierwiastki** (miejsca zerowe). 2. Zobacz, czy wielomian **idzie w górę czy w dół** dla dużych `x`. **Przykład:** `W(x) = x² - 4` - Pierwiastki: `x = -2` i `x = 2`. - Dla `x → ∞` wielomian rośnie do `+∞`. --- ## **2.14. Nierówności wielomianowe** To gdy zamiast `=` jest `<`, `>`, `≤`, `≥`. **Jak rozwiązywać?** 1. Rozłóż na czynniki. 2. Znajdź pierwiastki. 3. Narysuj **oś liczbową** i zaznacz przedziały. **Przykład:** `x² - 4 > 0` 1. Rozkład: `(x - 2)(x + 2) > 0`. 2. Pierwiastki: `x = -2`, `x = 2`. 3. Rysujemy oś: ----(+)----(-2)----(-)----(2)----(+)----> - Dla `x < -2` → `(+) * (-) = (-)` → **nie spełnia**. - Dla `-2 < x < 2` → `(+) * (+) = (+)` → **spełnia**. - Dla `x > 2` → `(-) * (+) = (-)` → **nie spełnia**. **Rozwiązanie:** `x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞)`.](<2.14. Nierówności wielomianowe To gdy zamiast = jest %3C, %3E, ≤, ≥. Jak rozwiązywać? Rozłóż na czynniki. Znajdź pierwiastki. Narysuj oś liczbową i zaznacz przedziały. Przykład: x² - 4 > 0 Rozkład: (x - 2)(x + 2) > 0. Pierwiastki: x = -2, x = 2. Rysujemy oś: ----(+)----(-2)----(-)----(2)----(+)----> Dla x < -2 → (+) * (-) = (-) → nie spełnia. Dla -2 < x < 2 → (+) * (+) = (+) → spełnia. Dla x > 2 → (-) * (+) = (-) → nie spełnia. Rozwiązanie: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞).>)