vault backup: 2025-05-20 21:26:09

.obsidian/workspace.json

@@ -8,17 +8,17 @@
         "type": "tabs",
         "children": [
           {
-            "id": "c4502a3f6b7de95c",
+            "id": "f9decbc6fa574701",
             "type": "leaf",
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "notes/NIEMIECKI 19.05.2025.md",
+                "file": "mathematika/wielomiany/Wielomiany notatki.md",
                 "mode": "preview",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "NIEMIECKI 19.05.2025"
+              "title": "Wielomiany notatki"
             }
           }
         ]
@@ -78,8 +78,7 @@
       }
     ],
     "direction": "horizontal",
-    "width": 300,
-    "collapsed": true
+    "width": 300
   },
   "right": {
     "id": "8a799a669a1bb56d",
@@ -249,9 +248,14 @@
   },
   "active": "801cb97c4f56dcb9",
   "lastOpenFiles": [
+    "mathematika/wielomiany/Drawing 2025-05-19 17.00.15.excalidraw.md",
+    "mathematika/wielomiany/Wielomiany notatki.md",
+    "notes/NIEMIECKI 19.05.2025.md",
+    "mathematika/wielomiany/Untitled.canvas",
+    "mathematika/wielomiany",
+    "mathematika",
     "notes/POLSKI  16.05.2025.md",
     "notes/HISTORIA 16.05.2025.md",
-    "notes/NIEMIECKI 19.05.2025.md",
     "conflict-files-obsidian-git.md",
     "Excalidraw/Drawing 2025-05-18 18.45.08.excalidraw.md",
     "Excalidraw/Drawing 2025-05-18 18.39.11.excalidraw.md",

mathematika/wielomiany/Wielomiany notatki.md

@@ -0,0 +1,329 @@
+## **2.1. Stopień i współczynniki wielomianu**
+
+### **Co to jest wielomian?**
+
+Wyobraź sobie, że wielomian to **torba z zakupami**. W środku masz różne produkty: jabłka (`x`), banany (`x²`), marchewki (`x³`), itd. Każdy produkt ma **swoją cenę** (współczynnik) i **ilość** (potęga `x`).
+
+**Przykład:**  
+`5x³ - 2x² + 7x - 1`
+
+- `5x³` → 5 worków jabłek (`x³`), każdy kosztuje 5 zł.
+    
+- `-2x²` → 2 banany (`x²`), ale na minusie (ktoś je zabrał).
+    
+- `7x` → 7 marchewek (`x`).
+    
+- `-1` → ktoś ukradł 1 zł z portfela (wyraz wolny).
+    
+
+### **Stopień wielomianu**
+ 
+To **najwyższa potęga** w torbie. W `5x³ - 2x² + 7x - 1` najwyższa to `x³`, więc stopień to **3**.
+
+### **Współczynniki**
+
+To liczby przed `x`:
+
+- przy `x³` → `5`
+    
+- przy `x²` → `-2`
+    
+- przy `x` → `7`
+    
+- wyraz wolny → `-1`
+    
+
+**Ćwiczenie:** W `-x⁴ + 3x - 5` stopień to **4**, współczynniki: `-1` (przy `x⁴`), `3` (przy `x`), `-5` (wyraz wolny).
+
+---
+
+## **2.2. Dodawanie i odejmowanie wielomianów**
+
+### **Dodawanie**
+
+To jak **łączenie dwóch toreb zakupów**. Możesz dodać tylko **te same produkty** (te same potęgi `x`).
+
+**Przykład:**  
+`(3x² + 2x + 1) + (x² - 5x + 4)`
+
+1. Łączymy `x²`: `3x² + x² = 4x²`
+    
+2. Łączymy `x`: `2x - 5x = -3x`
+    
+3. Łączymy wolne wyrazy: `1 + 4 = 5`  
+    **Wynik:** `4x² - 3x + 5`
+    
+
+### **Odejmowanie**
+
+Najpierw **zmieniamy znaki w drugim nawiasie**, potem dodajemy.
+
+**Przykład:**  
+`(3x² + 2x) - (x² - 5x)`
+
+1. Zmieniamy znaki: `-x² + 5x`
+    
+2. Dodajemy: `3x² - x² + 2x + 5x = 2x² + 7x`
+    
+
+---
+
+## **2.3. Mnożenie wielomianów**
+
+To jak **rozdawanie prezentów każdemu po kolei**. Każdy element z pierwszego nawiasu mnożymy przez każdy z drugiego.
+
+**Przykład:**  
+`(x + 2)(x + 3)`
+
+1. `x * x = x²`
+    
+2. `x * 3 = 3x`
+    
+3. `2 * x = 2x`
+    
+4. `2 * 3 = 6`  
+    Teraz dodajemy wszystko: `x² + 3x + 2x + 6 = x² + 5x + 6`
+    
+
+**Wizualizacja:**
+
+(x + 2)(x + 3) = x * (x + 3) + 2 * (x + 3)  
+= x² + 3x + 2x + 6  
+= x² + 5x + 6  
+
+---
+
+## **2.4. Wzory skróconego mnożenia**
+
+To **gotowe przepisy** na szybkie mnożenie.
+
+### **1. Kwadrat sumy**
+
+`(a + b)² = a² + 2ab + b²`  
+**Przykład:**  
+`(x + 1)² = x² + 2*x*1 + 1² = x² + 2x + 1`
+
+### **2. Kwadrat różnicy**
+
+`(a - b)² = a² - 2ab + b²`  
+**Przykład:**  
+`(x - 2)² = x² - 4x + 4`
+
+### **3. Różnica kwadratów**
+
+`(a + b)(a - b) = a² - b²`  
+**Przykład:**  
+`(x + 3)(x - 3) = x² - 9`
+
+---
+
+## **Trójkąt Pascala**
+
+To **piramida liczb**, która pokazuje współczynniki przy `(a + b)ⁿ`.
+
+Copy
+
+Download
+
+1           ← (a + b)⁰ = 1  
+1 1         ← (a + b)¹ = a + b  
+1 2 1       ← (a + b)² = a² + 2ab + b²  
+1 3 3 1     ← (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  
+1 4 6 4 1   ← (a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴  
+
+**Jak czytać?**
+
+- Dla `(a + b)³` patrzysz na 4. linię: `1 3 3 1` → `a³ + 3a²b + 3ab² + b³`.
+    
+
+---
+
+## **2.5-2.6. Rozkład wielomianu na czynniki**
+
+To **odwrotność mnożenia**. Szukamy, z jakich nawiasów mógł powstać wielomian.
+
+### **Metody rozkładu:**
+
+1. **Wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias**  
+    `6x² + 3x = 3x(2x + 1)`
+    
+2. **Wzory skróconego mnożenia**  
+    `x² - 9 = (x - 3)(x + 3)`
+    
+3. **Grupowanie wyrazów**  
+    `x³ + x² + x + 1 = x²(x + 1) + 1(x + 1) = (x² + 1)(x + 1)`
+    
+4. **Szukanie pierwiastków** (o tym później).
+    
+
+---
+
+## **2.7. Równania wielomianowe**
+
+To gdy wielomian **przyrównujemy do zera** i szukamy `x`.
+
+**Przykład:**  
+`x² - 5x + 6 = 0`
+
+1. Rozkładamy na czynniki: `(x - 2)(x - 3) = 0`
+    
+2. Każdy nawias może dać zero:
+    
+    - `x - 2 = 0` → `x = 2`
+        
+    - `x - 3 = 0` → `x = 3`  
+        **Rozwiązania:** `x = 2` lub `x = 3`.
+        
+
+---
+
+## **2.8. Dzielenie wielomianów**
+
+Działa jak **dzielenie pisemne**, ale z `x`.
+
+**Przykład:**  
+`(x² + 5x + 6) : (x + 2)`
+
+1. Dzielimy **pierwszy wyraz** przez pierwszy wyraz dzielnika:  
+    `x² : x = x` → zapisujemy `x` na górze.
+    
+2. Mnożymy `x * (x + 2) = x² + 2x` i odejmujemy od wielomianu:  
+    `(x² + 5x + 6) - (x² + 2x) = 3x + 6`
+    
+3. Powtarzamy: `3x : x = 3` → `3` dopisujemy na górze.
+    
+4. Mnożymy `3 * (x + 2) = 3x + 6` i odejmujemy:  
+    `(3x + 6) - (3x + 6) = 0` → **reszta 0**.  
+    **Wynik:** `x + 3`.
+    
+
+---
+
+## **2.10. Twierdzenie Bézouta**
+
+Mówi: **Jeśli `W(a) = 0`, to `(x - a)` jest dzielnikiem wielomianu `W(x)`.**
+
+**Przykład:**  
+`W(x) = x² - 4`  
+Sprawdzamy `W(2) = 2² - 4 = 0` → `(x - 2)` jest dzielnikiem.  
+Faktycznie: `x² - 4 = (x - 2)(x + 2)`.
+
+---
+
+## **2.11. Pierwiastki całkowite i wymierne**
+
+### **Pierwiastki całkowite**
+
+To **całkowite liczby**, które podstawione za `x` dają `0`.  
+**Jak szukać?** Sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego.
+
+**Przykład:**  
+`x³ - 3x² - 4x + 12 = 0`  
+Dzielniki `12`: `±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12`.  
+Sprawdzamy:
+
+- `W(2) = 8 - 12 - 8 + 12 = 0` → `x = 2` jest pierwiastkiem.
+    
+
+### **Pierwiastki wymierne**
+
+To **ułamki** `p/q`, gdzie `p` to dzielnik wyrazu wolnego, a `q` dzielnik współczynnika przy najwyższej potędze.
+
+**Przykład:**  
+`2x² - x - 1 = 0`  
+Możliwe ułamki: `±1, ±1/2`.  
+Sprawdzamy `x = 1`: `2 - 1 - 1 = 0` → `x = 1` jest pierwiastkiem.
+
+---
+
+## **2.12. Pierwiastki wielokrotne**
+
+To gdy **ta sama liczba** jest pierwiastkiem **kilka razy**.
+
+**Przykład:**  
+`(x - 1)² = 0` → `x = 1` jest **podwójnym** pierwiastkiem.
+
+---
+
+## **2.13. Wykres wielomianu**
+
+- **Stopień 1 (np. `2x + 1`)** → prosta linia.
+    
+- **Stopień 2 (np. `x²`)** → parabola (kształt "U").
+    
+- **Stopień 3 (np. `x³`)** → krzywa w kształcie "S".
+    
+
+**Jak rysować?**
+
+1. Znajdź **pierwiastki** (miejsca zerowe).
+    
+2. Zobacz, czy wielomian **idzie w górę czy w dół** dla dużych `x`.
+    
+
+**Przykład:**  
+`W(x) = x² - 4`
+
+- Pierwiastki: `x = -2` i `x = 2`.
+    
+- Dla `x → ∞` wielomian rośnie do `+∞`.
+    
+
+---
+
+## **2.14. Nierówności wielomianowe**
+
+To gdy zamiast `=` jest `<`, `>`, `≤`, `≥`.
+
+**Jak rozwiązywać?**
+
+1. Rozłóż na czynniki.
+    
+2. Znajdź pierwiastki.
+    
+3. Narysuj **oś liczbową** i zaznacz przedziały.
+    
+
+**Przykład:**  
+`x² - 4 > 0`
+
+1. Rozkład: `(x - 2)(x + 2) > 0`.
+    
+2. Pierwiastki: `x = -2`, `x = 2`.
+    
+3. Rysujemy oś:
+    
+    ----(+)----(-2)----(-)----(2)----(+)---->  
+    
+    - Dla `x < -2` → `(+) * (-) = (-)` → **nie spełnia**.
+        
+    - Dla `-2 < x < 2` → `(+) * (+) = (+)` → **spełnia**.
+        
+    - Dla `x > 2` → `(-) * (+) = (-)` → **nie spełnia**.  
+        **Rozwiązanie:** `x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞)`.](<2.14. Nierówności wielomianowe
+To gdy zamiast = jest %3C, %3E, ≤, ≥.
+
+Jak rozwiązywać?
+
+Rozłóż na czynniki.
+
+Znajdź pierwiastki.
+
+Narysuj oś liczbową i zaznacz przedziały.
+
+Przykład:
+x² - 4 > 0
+
+Rozkład: (x - 2)(x + 2) > 0.
+
+Pierwiastki: x = -2, x = 2.
+
+Rysujemy oś:
+
+----(+)----(-2)----(-)----(2)----(+)---->  
+Dla x < -2 → (+) * (-) = (-) → nie spełnia.
+
+Dla -2 < x < 2 → (+) * (+) = (+) → spełnia.
+
+Dla x > 2 → (-) * (+) = (-) → nie spełnia.
+Rozwiązanie: x ∈ (-∞, -2) ∪ (2, ∞).>)